抽屉原理
自然数被3除的余数只有3种（0、1、2）
1.如果5数中有3数被3除的余数相同，则这3个数的和能被3整除；
2.如果五个自然数被3除的余数不存在3个相同的（至多2个相同），因为被3除的余数只有3种（0、1、2），5个数被3除的余数共5个，则由抽屉原理可得到每种余数至少都有1个。这时，选取余数不同的3个数，它们的和被3整除。
说明：题目是要求证明一定存在（必有），即总可以从中找出3数，不是说其中任意3数都使其和能被3整除。
补充之证明：设这11个整数为：a1，a2，a3……a11
①先考虑被3整除的情形
由以上题目知，在11个任意整数中，必存在3个数的和能被3整除,设这3数为a1，a2，a3，有
3|a1+a2+a3
不妨设a1+a2+a3=p；
同理，剩下的8个任意整数中，由以上题目，必存在：3 | a4+a5+a6.
不妨设a4+a5+a6=q；
同理，其余的5个任意整数中，
有：3|a7+a8+a9
设：a7+a8+a9=r
②再考虑p,q,r被2整除.
依据抽屉原理，p,q,r这三个整数中，至少有两个是同奇或同偶，这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数.不妨设2|p+q;
因为6=3*2，由①②得，
6|p+q
即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6
∴任意11个整数，其中必有6个数的和是6的倍数.
抽屉原理是什么重要原理
抽屉原理
一、 知识要点
抽屉原理又称鸽巢原理,它是组合数学的一个基本原理,最先是由德国数学家狭利克雷明确地提出来的,因此,也称为狭利克雷原理.
把3个苹果放进2个抽屉里,一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果.这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现.用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题.
原理1：把n+1个元素分成n类,不管怎么分,则一定有一类中有2个或2个以上的元素.
原理2：把m个元素任意放入n（n＜m＝个集合,则一定有一个集合呈至少要有k个元素.
其中 k＝ （当n能整除m时）
〔 〕＋1 （当n不能整除m时）
（〔 〕表示不大于 的最大整数,即 的整数部分）
原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里,则一定有一个集合里含有无穷多个元素.
二、 应用抽屉原理解题的步骤
第一步：分析题意.分清什么是“东西”,什么是“抽屉”,也就是什么作“东西”,什么可作“抽屉”.
第二步：制造抽屉.这个是关键的一步,这一步就是如何设计抽屉.根据题目条件和结论,结合有关的数学知识,抓住最基本的数量关系,设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数,为使用抽屉铺平道路.
第三步：运用抽屉原理.观察题设条件,结合第二步,恰当应用各个原则或综合运用几个原则,以求问题之解决.
例1、 教室里有5名学生正在做作业,今天只有数学、英语、语文、地理四科作业
求证：这5名学生中,至少有两个人在做同一科作业.
证明：将5名学生看作5个苹果
将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉,共4个抽屉
由抽屉原理1,一定存在一个抽屉,在这个抽屉里至少有2个苹果.
即至少有两名学生在做同一科的作业.
例2、 木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个,若蒙眼去摸,为保证取出的球中有两个球的颜色相同,则最少要取出多少个球?
把3种颜色看作3个抽屉
若要符合题意,则小球的数目必须大于3
大于3的最小数字是4
故至少取出4个小球才能符合要求
答：最少要取出4个球.
例3、 班上有50名学生,将书分给大家,至少要拿多少本,才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书.
把50名学生看作50个抽屉,把书看成苹果
根据原理1,书的数目要比学生的人数多
即书至少需要50+1=51本
答：最少需要51本.
例4、 在一条长100米的小路一旁植树101棵,不管怎样种,总有两棵树的距离不超过1米.
把这条小路分成每段1米长,共100段
每段看作是一个抽屉,共100个抽屉,把101棵树看作是101个苹果
于是101个苹果放入100个抽屉中,至少有一个抽屉中有两个苹果
即至少有一段有两棵或两棵以上的树